הוראת מתמטיקה באיטליה ובגרמניה במאה החמש עשרה

הוראת מתמטיקה באיטליה ובגרמניה במאה החמש עשרה


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

הוא ספר מעבר למספרות, ג'ון אלן פאולוס מספר את הסיפור הזה: "סוחר גרמני במאה החמש עשרה שאל את הפרופסור הבולט לאן לשלוח את בנו לחינוך עסקי טוב. הפרופסור השיב כי האוניברסיטאות הגרמניות יספיקו ללמד את הילד חיבור וחיסור אך הוא יצטרך לנסוע לאיטליה כדי ללמוד ריבוי וחילוק. לפני שאתה מחייך בכבוד, נסה להכפיל או אפילו רק להוסיף את הספרות הרומיות CCLXIV, MDCCCIX, DCL ו- MLXXXI מבלי לתרגם אותן תחילה. "

פאולוס לא מספק שום מקור לכך. מישהו יודע אם זה אמיתי או לא? ואם הוא אכן אמיתי, מיהו "הפרופסור הבולט" הזה?


Tl; דר

זהו אינו סיפור אמיתי אלא תיאור המחשה, שהומצא כנראה בשנות השלושים.


המספרים ההודו-ערביים הראשונים הגיעו לאירופה במאה העשירית. היה להם קשה בהתחלה. במאה ה -13 פרסם האיטלקי לאונרדו פיבונאצ'י את Liber abaci (1202) אשר הפך את השימוש בהם לפופולרי עוד יותר, אך בעיקר באיטליה. בשנת 1522 פרסם אז אדם רייס Rechenung auff der linihen und federn בגרמניה - ובגרמנית במקום לטינית.

הַשׁעָרָה:
זהו התפשטות די מבוססת של מערכת הכתיבה והחישוב המספריים באירופה. אנקדוטה זו המדוברת נועדה להמחשה לכך. ספק אם השיחה המדויקת הזו התקיימה או הוקלטה בצורה כזו. אחרי הכל, מדוע "הפרופסור הבולט" לא לימד את אותו הילד בעצמו, אם הוא מכיר ספרות הודו-ערבית ומשוכנע ביתרונות שלהם?

הרי השימוש במספרים הרומיים מסורבל בהשוואה למספרים הודו-ערבית, מבחינתנו. אך ניתן לבצע ריבוי בעזרת אבסקוס והכלי הזה מתאים לשימוש בספרות רומיות.

אז עלינו להסתכל על המערכת האוניברסיטאית בזמנו. ה artes liberales כלל אריתמטיקה וגיאומטריה בימי הביניים. אבל זה היה בסדר אפילו עם ספרות רומיות. וגם סוחרי מדיצ'י, ולא פוגר, ולא ווסלר הלכו לשם כדי ללמוד את העסק.

הם למדו על ידי עשיית עסקים (או בעצמם, נדירים, שכביים, בתי ספר של אבבקוס.) אחת הדוגמאות הבולטות ביותר, יעקב פוגר העשיר:

מסמך מארכיון המדינה האוסטרית הראה זאת כעת יעקב פוגר כבר ייצג את העסק המשפחתי שלו בוונציה בשנת 1473 בגיל 14. מחקרים אחרים הראו כי יעקב פוגר בילה את השנים בין 1473 ל- 1487 בעיקר ב- Fondaco dei Tedeschi, ביתם של סוחרים גרמנים בוונציה. ונציה, שהיתה אחד ממרכזי המסחר החשובים באותה תקופה, התגלתה כסביבה אידיאלית לחינוכו של יעקב פוגר בבנקאות ובמסחר במתכות. מגוריו הארוכים באיטליה סייעו גם בהבאת סגנון הרנסנס לאזור הגרמני, במימון בניית הבניינים הראשונים בסגנון זה שמקורם באיטליה. למבנים משפטיים וארכיטקטוניים של ונציה הייתה גם השפעה ניכרת על מימון הפאגרייה שהיה דומה לדיור החברתי של ונציה.

אז נראה שהמונח "אוניברסיטה" הוא הוויתור. בלי זה, האנקדוטה נראית סבירה. כמה סוחרים אכן שלחו את בניהם לאיטליה, הם שלחו אותם לשם כדי ללמוד את המקצוע, מכיוון שהמערכת האיטלקית הייתה מתקדמת הרבה יותר בימי הביניים הגבוהים מאשר בכל מקום אחר באירופה (בנקאות). האוניברסיטאות היו גם ישנות וטובות באיטליה. רק שהסוחרים לא הלכו לשם.

ולמה שהם צריכים? החינוך למתמטיקה היה די ילד החורג באוניברסיטאות באירופה, והיה מאוד לא מעשי בטבע:

אנו עשויים אולי לתהות מדוע האוניברסיטה מימי הביניים, עם כל הצלחתה בתחומי ההיגיון והפילוסופיה הטבעית, ולמרות פעילותם של כמה מתמטיקאים ראויים לציון, מעולם לא הביאה אותה רחוק בתחום החינוך למתמטיקה. […] בכל הנוגע למתמטיקה, הרצאות בשילוב עם דיון תומכות בפיתוח מטמטמטיקה - כלומר גם פילוסופיה. אבל כדי להפוך ליצירתיים במתמטיקה עצמה, ואולי ליהנות ממנה, צריך לעשות מתמטיקה, לא רק לדבר עליה. בתוך תוכנית הלימודים של בתי הספר ולמדו האוניברסיטאות, התחומים שבהם אפשר היה לעשות מתמטיקה היו מעטים. קומפוטוס היה תחום כזה - אך המתמטיקה שלו לא חרגה מחשבון אריתמטי פשוט. Rithmomachia היה עוד אחד, והמשחק אכן נשאר פופולרי עד המאה השש עשרה. השלישי היה חישוב באמצעות ספרות הינדית -ערבית בשימוש בטבלאות אסטרונומיות - אולי גם לא מעורר השראה מדי, אך עם זאת תחום שנוהג באדיקות גם בתקופת הרנסאנס, בין אם לשמה ובין אם (נכון יותר) מכיוון שהוא היה סינוס קווא לא לחיזוי אסטרולוגי פשוט. […]
אנו יודעים מעט מאוד על חינוך ילדי האזרחים לאחר תחיית חיי העיר במאה ה -12. כמה מוסדות כמו בית הספר סן ויקטור בפריז קיבלו אותם, אך נראה כי מה שהציעו הותאם בצורה גרועה לעתיד בחיי המסחר (אומנים עתידיים לימדו בכל מקרה כחניכים); פיראן (1929, עמ '20) מספר שבנו של סוחר פלמי הוכנס לבית ספר נזירי בסביבות שנת 1200 על מנת ללמוד מה נדרש במסחר - אבל אז הפך לנזיר. חלק מהפקידות שימשו כמורות בית במשפחות עשירות (פירן 1929, 21ff), וחלקן החזיקו כנראה בתי ספר פרטיים.
כי סוחרים איטלקים נלמדו על ידי אנשי דת בכתיבה לטינית, ממחיש התיאור של Boncompagno da Signa (1215) של מכתביהם כפי שנכתב בתערובת של לטינית ועם שפה פגומה. אינו אלא ניחוש משכיל הבנוי על מה שאנו מכירים מתקופות מאוחרות יותר.
ג'נס הוירופ: "חינוך למתמטיקה בימי הביניים האירופאים", בתוך: אלכסנדר קארפ וגרט שוברינג (עורכים): "מדריך לתולדות החינוך המתמטי", ספרינגר: ניו יורק, היידלברג, 2014.

אותה אנקדוטה מסופרת מחדש (עמ '14) בפרנק ג'יי סווץ ודוד יוג'ין סמית: "קפיטליזם ואריתמטיקה: המתמטיקה החדשה של המאה ה -15, כולל הטקסט המלא של אריתמטיקת טרוויזו משנת 1478, תורגם על ידי דייוויד יוג'ין סמית" , הוצאת בית המשפט הפתוח, 1987. גם הם לא הצליחו לאמת את האנקדוטה.

אבל המקור ניתן לייחס לפחות לטוביאס דאנציג: "מספר. שפת המדע", מקמילן, 1930 (archive.org, p27). שם אנו גם לא מוצאים ייחוס מקור, אלא הכשרה חשובה:

יש סיפור של סוחר גרמני מהמאה החמש עשרה, שלא הצלחתי לאמת אותו, אך הוא כה אופייני למצב הקיים אז עד שאיני יכול לעמוד בפיתוי לספר אותו. נראה שלסוחר היה בן שהוא רצה להעניק לו השכלה מסחרית מתקדמת. הוא פנה לפרופסור בולט באוניברסיטה בבקשה לקבל ייעוץ לאן עליו לשלוח את בנו. התשובה הייתה שאם תכנית הלימודים המתמטית של הצעיר תהיה מוגבלת להוספה ולחיסור, אולי הוא יוכל להשיג את ההוראה באוניברסיטה גרמנית; אבל אמנות ההתרבות והחלוקה, המשיך, פותחה מאוד באיטליה, שלדעתו הייתה המדינה היחידה בה ניתן להשיג הוראה מתקדמת כזו.
למעשה, לכפל ולחלוקה כפי שנהגו באותם ימים היה מעט במשותף עם הפעולות המודרניות הנושאות את אותם שמות. הכפל, למשל, היה הצלחה של כפילויות, שזהו השם שניתן להכפלת מספר. באותו אופן הצטמצמה החלוקה לגישור, כלומר "חציית" מספר. ניתן לקבל דוגמא ברורה יותר למעמד החישוב בימי הביניים. שימוש בסימונים מודרניים:
אנו מתחילים להבין מדוע האנושות נאחזה כל כך בעקשנות במכשירים כמו אבאקוס או אפילו המספר. חישובים שילד יכול לבצע כעת דורשים את שירותיו של מומחה, ומה שעכשיו רק עניין של דקות ספורות נועד בימי המאה השתים עשרה של עבודה משוכללת.
המתקן שהוגדל מאוד שבו האדם הממוצע כיום מתפעל מספרים, נחשב לעתים קרובות כהוכחה לצמיחת השכל האנושי. האמת היא שהקשיים שחוו אז היו טבועים במספר השימוש, מספר שאינו רגיש לכללים פשוטים וברורים. גילוי המספר הפוזיציוני המודרני חיסל את המכשולים הללו והנגיש את החשבון אפילו למוח המשעמם ביותר.

זה יהפוך את האנקדוטה לסיפור של מוסר, כאשר חלקים שנמצאים בהיסטוריה מרוצפים יחד ויוצרים סיפור מאלף של פרוגרסיביזם איטי אך מנצח,
שהוא מופרך בהיסטוריה בפועל, כפי שמעידים יותר מדי פרטים שגויים בסיפור (וכל הווריאציות הלא מקוריות שלו (דוגמה, נקבעו עוד קודם לכן, אך טועים מאוד בתהליך).

כמו סיכם מדריך אחר:

ניתן לאפיין את מצב המדע באירופה של ימי הביניים באמצעות אנקדוטה שדווחה ב- Ifrah (2000):

סוחר גרמני רצה להעניק לבנו את החינוך הטוב ביותר האפשרי. הוא קרא לפרופסור מכובד ושאל אותו לאיזו אוניברסיטה עליו לשלוח אותו. עצתו של הפרופסור הייתה: "אוניברסיטה גרמנית תעשה אם הוא רק רוצה ללמוד חיבור וחיסור. אם הוא רוצה ללמוד גם כפל וחילוק, עליו ללכת לאוניברסיטה איטלקית".

אנקדוטות הן כמו קריקטורות; הם מגזימים בתכונות טיפוסיות, אך יש להם גרעין אמיתי. סיפורו של הסוחר מימי הביניים מוכיח כי הוצאה של הרצאה שלמה על מדע ימי הביניים באירופה היא מעשה של הטיות תרבותיות שאין להכחישה. מבחינת ההיסטוריה הגלובלית אי אפשר להצדיק זאת. התירוץ היחיד שאני יכול להציע הוא שנולדתי בציביליזציה האירופית ולכן יש לי אינטרס אפילו בזמנים האפלים ביותר של ההיסטוריה האירופית.

מתיאס טומצ'ק: "מצב המדע באירופה של ימי הביניים.", מדע, ציוויליזציה וחברה, CPES 2220: קורס בן 35 הרצאות, שנערך לראשונה באוניברסיטת פלינדרס בדרום אוסטרליה במהלך המחצית השנייה של 2004.


באופן מוזר, האנקדוטה הזו מדברת על סוחר גרמני. הרשת והספרים דוברי האנגלית משנות השלושים ואילך מספרים את הסיפור הזה פעמים רבות, בעיקר עם וריאציות קטנות בלבד.
אולם נראה שספרים גרמניים מעתיקים את הסיפור הזה רק בשנים האחרונות. לא שזה ייחשב לכלום, אבל נראה כי השיא המוקדם ביותר לכך בפרסומים בשפה הגרמנית הוא משנת 1999 (ושאף אחד הוא אפילו אמריקאי במקור)?


סוחר גרמני במאה החמש עשרה שאל פרופסור מצטיין לאן לשלוח את בנו לחינוך עסקי טוב.

ברור שסיפור זה מורכב על ידי המחבר לצורכי המחשה. במאה ה -15 לא היה לאוניברסיטאות שום קשר לחינוך עסקי. ראה למשל "Trivium" ו- "Quadrivium" בויקיפדיה. מתמטיקה עסקית (כמו "כניסת ספרים כפולה", ושימוש באבקס, למשל) נלמדה באופן פרטי, ואיטליה אכן הייתה המקום ללימוד מתמטיקה עסקית. למה איטליה? כנראה בגלל הקשר הדוק יותר למסחר במזרח התיכון.

Liber Abacus שהציג חשבון עשרוני באירופה פורסם על ידי הסוחר האיטלקי פיבונאצ'י במאה ה -13, כך שאני מניח שמערכת עשרונית כבר הייתה בשימוש נפוץ בקרב הסוחרים מאתיים שנה מאוחר יותר. לפיבונאצ'י לא הייתה זיקה לאף אוניברסיטה. הוא למד מתמטיקה עסקית בעת שנסע לאלג'יריה.

לצורך הכפלת וחלוקת המספרים, וחישובים ארוכים אחרים, נעשה שימוש באמצעי חישוב פשוט (abacus).


חינוך באיטליה

חינוך באיטליה הוא חובה מגיל 6 עד 16, [2] ומחולק לחמישה שלבים: גן ילדים (scuola dell'infanzia), בית ספר יסודי (סקולה פרימריה אוֹ scuola elementare), בית ספר תיכון (scuola secondaria di primo grado אוֹ scuola media inferiore), חטיבה עליונה (scuola secondaria di secondo grado אוֹ scuola media superiore) ואוניברסיטה (אוניברסיטה). [3] החינוך הוא בחינם באיטליה וחינוך חינם זמין לילדים מכל הלאומים תושבי איטליה. לאיטליה יש מערכת חינוך פרטית וציבורית כאחד. [4]

חינוך באיטליה
Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca
שר החינוךפטריזיו ביאנצ'י
תקציב חינוך לאומי (2016)
תַקצִיב65 מיליארד אירו
פרטים כלליים
שפות עיקריותאִיטַלְקִית
סוג המערכתפּוּמְבֵּי
חינוך יסודי חובה1859
אוריינות (2015)
סה"כ99.2% [1]
פוסט משני386,000

התוכנית להערכת סטודנטים בינלאומית המתואמת על ידי ה- OECD מדרגת כיום את הידע והכישורים הכוללים של בני 15 איטלקים במקום ה -34 בעולם בקריאה, אוריינות ומתמטיקה, באופן משמעותי מתחת לממוצע ב- OECD של 493. [5]


מתמטיקה בינונית

במהלך המאות שבהן היו המתמטיקאים הסינים, ההודים והאסלאמיים בעלייה, אירופה נקלעה לתקופות האפלה, בהן מדע, מתמטיקה וכמעט כל המאמץ האינטלקטואלי קפא.

חוקרים סקולסטיים העריכו רק לימודים במדעי הרוח, כמו פילוסופיה וספרות, והוציאו הרבה מאנרגיהם על מריבות על נושאים עדינים במטאפיזיקה ובתיאולוגיה, כגון "כמה מלאכים יכולים לעמוד על נקודת המחט?

מהמאות ה -4 עד ה -12, הידע והלימוד האירופאי באריתמטיקה, גיאומטריה, אסטרונומיה ומוזיקה הוגבלו בעיקר לתרגומיו של בוטיוס לכמה מיצירותיהם של אדונים יוונים עתיקים כגון ניקומכוס ואוקלידס. כל המסחר והחישוב נעשה באמצעות מערכת הספרות הרומית המגושמת והבלתי יעילה, ועם אבאקוס המבוסס על מודלים יווניים ורומיים.

דרך המאה ה 12, אם כי, אֵירוֹפָּה, ובמיוחד איטליה, החלה לסחור עם המזרח, והידע המזרחי החל להתפשט למערב. רוברט מצ'סטר תרגם את הספר החשוב של אל-ח'ווריזמי על האלגברה ללטינית במאה ה -12, והטקסט המלא של "האלמנטים" של אוקלידס תורגם בגרסאות שונות על ידי אדלארד מבאת ', הרמן מקרינתיה וג'רארד מקרמונה. ההתרחבות הגדולה של המסחר והמסחר בכלל יצרה צורך מעשי הולך וגובר במתמטיקה, והחשבון נכנס הרבה יותר לחייהם של אנשים פשוטים וכבר לא היה מוגבל לתחום האקדמי.

הופעת בית הדפוס ב אמצע המאה ה -15 הייתה גם השפעה עצומה. ספרים רבים אריתמטיים פורסמו לצורך לימוד אנשי עסקים שיטות חישוביות לצרכיהם המסחריים והמתמטיקה החלה בהדרגה לרכוש תפקיד חשוב יותר בחינוך.

של אירופה המתמטיקאי הגדול מימי הביניים היה לאונרדו האיטלקי מפיזה, הידוע יותר בכינויו פיבונאצ'י. למרות שהכי ידוע ברצף המספרים של פיבונאצ'י, אולי תרומתו החשובה ביותר למתמטיקה האירופית הייתה תפקידו בהפצת השימוש במערכת הספרות ההינדית-ערבית ברחבי אירופה בתחילת המאה ה -13, שהפכה במהרה למערכת הספרות הרומית. מיושן, ופתח את הדרך להתקדמות גדולה במתמטיקה האירופית.

Oresme היה אחד הראשונים שהשתמשו בניתוח גרפי

מתמטיקאית וחוקרת מהמאה ה -14 חשובה (אך במידה רבה לא ידועה ולא מוערכת) הייתה הצרפתית ניקול אורסמה. הוא השתמש במערכת של קואורדינטות מלבניות מאות שנים לפני ארצו רנה דקארט הפך את הרעיון לפופולרי, כמו גם אולי את הגרף הראשון של זמן-מהירות-מרחק. כמו כן, בעקבות מחקרו במוזיקולוגיה, הוא היה הראשון שהשתמש במעריכים שברים, וגם עבד על סדרות אינסופיות, כשהוא הראשון שהוכיח כי הסדרה ההרמונית 1 ⁄1 + 1 ⁄2 + 1 ⁄3 + 1 ⁄4 + 1 ⁄5... היא סדרה אינסופית שונה (כלומר לא נוטה לגבול, מלבד אינסוף).

המלומד הגרמני רג'ימונטאטוס היה אולי המתמטיקאי בעל הכשרון ביותר המאה ה -15, תרומתו העיקרית למתמטיקה היא בתחום הטריגונומטריה. הוא סייע להפריד בין טריגונומטריה לאסטרונומיה, וברוב המאמצים שלו נחשבה הטריגונומטריה כענף עצמאי של המתמטיקה. הספר שלו "דה טריאנגוליס", שבו תיאר חלק ניכר מהידע הטריגונומטרי הבסיסי שנלמד כיום בתיכון ובמכללה, היה הספר הגדול הראשון על טריגונומטריה שהופיע בדפוס.

יש להזכיר גם את ניקולס מקוסה (או ניקולאוס קוסאנוס), פילוסוף, מתמטיקאי ואסטרונום גרמני מהמאה ה -15, שרעיונותיו הבולטים על האינסוף והאין סופי השפיעו ישירות על מתמטיקאים מאוחרים יותר כמו גוטפריד ליבניץ וגיאורג קנטור. הוא גם החזיק בכמה רעיונות אינטואיטיביים לא סטנדרטיים מובהקים לגבי היקום ומיקום כדור הארץ בו, ועל מסלולים אליפטיים של כוכבי הלכת והתנועה היחסית, שהעידו על הגילויים המאוחרים יותר של קופרניקוס וקפלר.


מדע ופילוסופיה:

התרומה של הערבים

במהלך 'ימי הביניים' הכירו הנזירים ואנשי הדת חלק גדול מכתבי היוונים והרומאים. אבל הם לא הביאו את אלה לידיעה נרחבת. במאה הארבע עשרה, חוקרים רבים החלו לקרוא יצירות מתורגמות של סופרים יוונים כמו אפלטון ואריסטו. למעשה, המתרגמים הערבים שימרו ותרגמו בזהירות כתבי יד עתיקים בערבית. בנוסף לכך, כמה חוקרים אירופאים תרגמו עבודות של חוקרים ערבים ופרסיים לצורך העברה נוספת לאירופה. אלה היו עבודות על מדעי הטבע, מתמטיקה, אסטרונומיה, רפואה וכימיה. תוכניות הלימוד באוניברסיטאות המשיכו להיות נשלטות על ידי החוק, הרפואה והתיאולוגיה. אבל לאט לאט החלו להציג נושאים הומניסטיים בבתי הספר.

אמנים וריאליזם

אמנים קיבלו השראה מדמויותיהם של גברים ונשים בפרופורציות "מושלמות" שפוסלו לפני מאות רבות במהלך האימפריה הרומית. פסלים איטלקים עבדו עוד על המסורת הזו כדי לייצר פסלים דמויי חיים. מאמצי האמנים לדייק נעזרו בעבודתם של מדענים. אמנים הלכו למעבדות של בתי ספר לרפואה כדי שיוכלו ללמוד אנטומיה. ציירים ניצלו את הידע של הגיאומטריה כדי להבין את נקודת המבט. הם השתמשו בשילוב נכון של צל אור ליצירת איכות תלת ממדית בציורים. צבע השמן נתן עושר צבע גדול יותר לציורים מבעבר. ניתן לראות את השפעת האמנות הסינית והפרסית בתיאור התלבושות שלהם בציורים רבים. לפיכך, לאנטומיה, גיאומטריה, פיזיקה ותחושה חזקה של מה שהיה יפה יש איכות חדשה לאמנות האיטלקית. אמנות זו נקראה מאוחר יותר 'ריאליזם' והתנועה נמשכה עד המאה התשע עשרה.

ארכיטקטורה

העיר רומא קמה לתחייה בצורה מרהיבה במאה החמש עשרה. משנת 1417 התחזקו האפיפיורים מבחינה פוליטית. הם עודדו באופן פעיל את לימוד ההיסטוריה של רומא. ההריסות ברומא נחפרו בקפידה על ידי ארכיאולוגים. זה עורר השראה לתחייה של סגנון האדריכלות הרומית הקיסרית. עכשיו זה נקרא 'קלאסי'. אפיפיורים, סוחרים עשירים ואריסטוקרטים העסיקו אדריכלים שהכירו את האדריכלות הקלאסית. אמנים ופסלים הועסקו גם לקישוט מבנים בציורים, פסלים ותבליטים. כמה אמנים היו מיומנים באותה מידה כמו ציירים, פסלים ואדריכלים, למשל מיכאלאנג'לו בואונרוטי (1475-1564), פיליפו ברונלסקי (1337-1446). שינוי יוצא דופן נוסף היה שמאותה תקופה אמנים היו ידועים בנפרד, כלומר בשמם, לא כחברים בקבוצה או בגילדה.

הספרים המודפסים הראשונים

פיתוח טכנולוגיית ההדפסה הייתה המהפכה הגדולה ביותר של המאה השש עשרה. טכנולוגיית ההדפסה הגיעה מסין. יוהנס גוטנברג (1400-1458), גרמני, ייצר את בית הדפוס הראשון. בשנת 1500 הודפסו באיטליה טקסטים קלאסיים רבים, כמעט כולם בלטינית. טכנולוגיית ההדפסה הבטיחה כי ידע, רעיון, דעות ומידע זזים במהירות ורחבה מתמיד. כעת, אנשים יכלו לקרוא ספרים. התרבות ההומניסטית באיטליה התפשטה מהר יותר מסוף המאה החמש עשרה בגלל הפופולריות הגוברת של ספרים מודפסים.


רוב המתמטיקאים מגיעים רק מ- 24 משפחות מדעיות

התפתחות המתמטיקה התחקה באמצעות מאגר גנאלוגיה מקיף באופן יוצא דופן.

רוב המתמטיקאים בעולם מתחלקים ל -24 'משפחות' מדעיות בלבד, אחת מהן מתוארכת למאה החמש עשרה. התובנה מגיעה מניתוח של פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה (MGP), שמטרתו לחבר את כל המתמטיקאים, חיים ומתים, לעצי משפחה על בסיס שושלות מורים -תלמידים, במיוחד מי היה יועץ הדוקטורט של הפרט.

הניתוח משתמש גם ב- MGP - הפרויקט השלם ביותר שכזה - כדי להתחקות אחר מגמות בהיסטוריה של המדע, כולל הופעתה של ארצות הברית כמעצמה מדעית בשנות העשרים וכששדות משנה מתמטיים שונים עלו לשליטה 1.

"אתה יכול לראות כיצד המתמטיקה התפתחה עם הזמן", אומרת פלוריאנה גרגיולו, שחוקרת דינמיקת רשתות באוניברסיטת נאמור, בלגיה ושהובילה את הניתוח.

ה- MGP מתארח על ידי אוניברסיטת מדינת צפון דקוטה בפארגו ובשיתוף האגודה האמריקאית למתמטיקה. מאז תחילת שנות התשעים, מארגניה כבשו מידע ממחלקות האוניברסיטה ומאנשים המגישים הצעות לגבי עצמם או אנשים שהם מכירים. החל מה -25 באוגוסט, ה- MGP הכיל 201,618 ערכים. כמו גם יועצי דוקטורט (יועצי דוקטורט בתקופה האחרונה) ותלמידי מתמטיקאים אקדמיים, המארגנים רושמים פרטים כמו האוניברסיטה שהעניקה את הדוקטורט.

בעבר, חוקרים השתמשו ב- MGP כדי לשחזר עצים למשפחת הדוקטורט שלהם, או כדי לראות כמה 'צאצאים' יש לחוקר (הקוראים יכולים לחפש בעצמם כאן). הצוות של גרגיולו רצה לערוך ניתוח מקיף של כל מסד הנתונים ולחלק אותו למשפחות נפרדות, ולא רק להסתכל על כמה צאצאים יש לאדם אחד.

לאחר הורדת מסד הנתונים, גרגיולו ועמיתיה כתבו אלגוריתמים של למידת מכונה שבדקו והשלים את נתוני ה- MGP במידע מוויקיפדיה ומפרופילים של מדענים במאגר הביבליוגרפי של סקופוס.

זה חשף 84 עצים משפחתיים מובהקים כאשר שני שלישים מהמתמטיקאים בעולם התרכזו ב -24 בלבד מהם. מידת האשכול הגבוהה עולה בין היתר מכיוון שהאלגוריתמים הקנו לכל מתמטיקאי רק הורה אקדמי אחד: כאשר לאדם היה יותר מיועץ אחד, הם קיבלו את זה עם הרשת הגדולה יותר. אבל התופעה מצלצלת עם דיווחים אנקדוטליים מאלה שחוקרים את מוצאם המתמטי, אומר מנהל ה- MGP מיטשל קלר, מתמטיקאי באוניברסיטת וושינגטון ולי בלקסינגטון, וירג'יניה. "רובם נתקלים באולר, או בגאוס או בשם גדול אחר", הוא אומר.

למרות ש- MGP עדיין ממוקד במידה מסוימת בארה"ב, המטרה היא להפוך אותו לבינלאומי ככל האפשר, אומר קלר.

באופן מוזר, אביו של עץ המשפחה הגדול ביותר אינו מתמטיקאי אלא רופא: סיגיסמונדו פולקאסטרו, שלימד רפואה באוניברסיטת פדובה באיטליה בתחילת המאה החמש עשרה. יש לו 56,387 צאצאים על פי הניתוח. העץ השני בגודלו הוא עץ שהתחיל על ידי רוסי בשם איוון דולבניה בסוף המאה התשע עשרה.

המחברים עקבו גם אחר הפעילות המתמטית לפי מדינה, שנראה כי הם מציינים אירועים היסטוריים מרכזיים. בערך בזמן פירוק האימפריה האוסטרו-הונגרית במלחמת העולם הראשונה, יש ירידה בתואר שני במתמטיקה המוענק באזור, מציין גרגיולו. בין 1920 ל -1940 השתלטה ארצות הברית מגרמניה כמדינה המייצרת את המספר הגדול ביותר של דוקטורטים במתמטיקה מדי שנה. ועלייתה של ברית המועצות מסומנת בשיא הדוקטורטים בשנות השישים, ואחריה נפילה יחסית לאחר התפרקות האיחוד בשנת 1991.

הצוות של גארגיולו בחן גם את הדומיננטיות של תחומי משנה מתמטיים ביחס זה לזה. החוקרים גילו כי הדומיננטיות עברה מפיזיקה מתמטית למתמטיקה טהורה במהלך המחצית הראשונה של המאה העשרים, ומאוחר יותר לסטטיסטיקה ולדיסציפלינות יישומיות אחרות, כגון מדעי המחשב.

אידיוסינקרציות בתחום המתמטיקה יכולות להסביר מדוע יש לה את מאגר הגנאלוגיה המקיף ביותר מכל תחום. "מתמטיקאים הם קצת עולם בנפרד", אומרת רוברטה סינטרה, מדענית רשת ונתונים באוניברסיטה המרכזית באירופה בבודפשט, שהובילה מחקר משנת 2015 שמיפה את התפתחות תת -התחומים של הפיזיקה על ידי כריית נתונים ממאמרים ברשת האינטרנט של המדע. 2.

מתמטיקאים נוטים לפרסם פחות מחוקרים אחרים, והם מבססים את המוניטין האקדמי שלהם לא רק על כמה הם מפרסמים או על מספר הציטוטים שלהם, אלא על מי הם שיתפו פעולה, כולל המנטורים שלהם, היא אומרת. "אני חושב שזה לא צירוף מקרים שיש להם את הפרויקט הגנאלוגי הזה."

לפחות משמעת אחת מנסה להתעדכן. היסטוריון האסטרונומיה ג'וזף טן מאוניברסיטת סונומה סטייט בקליפורניה מתכנן להשיק עד 2017 את פרויקט AstroGen להקלטת יועצי הדוקטורט וסטודנטים של אסטרונומים. "התחלתי את זה", הוא אומר, "כי כל כך הרבה מעמיתי באסטרונומיה התפעלו ונהנו לעיין בפרויקט הגנאלוגיה של המתמטיקה."


נשים רנסנס אנגלי

הרנסנס הייתה תקופה מהמאה ה -14 עד המאה ה -17 באירופה, שהוגדרה כזמן של תחיית האמנות. הרנסנס החל באיטליה שהייתה מרכז המהפכה הזו בין המאה הארבע עשרה לשש עשרה, בין אירופה לאיראסיה. בתקופה זו צורות אמנות שונות, פסלים, ציורים ואדריכלות קיבלו תפנית חדשה והגדירו מושגים חדשים בתחום האמנות. התקופה מתחילה במאה הארבע עשרה ממרכז המהפכה, איטליה, והתקדמה לאט לכל חלקי אירופה עד המאה החמש עשרה. מטרת המהפכה הזו היא לעקוב אחר התרבות שהייתה חלק מההיסטוריה היוונית והרומית העתיקה. מושגים חדשים אלה של חוכמה ואמנות הופנו בתחילה כלפי גברים ונשים לא נכללו במעורבות שווה במהפכה. זה היה הזמן שבו נשים חולקו למעמדות הגבוהים והתחתונים, שהמעמד הגבוה ביותר יכול היה לקחת חלק בפעילויות אך המעמד הנמוך היה מדוכא ביותר ונועד ללדת את הילדים ולשרת את הגברים כמשרתים. מהפכה זו הביאה להעצמת נשים שהיו מדוכאות בכל תחום בחיים עד אז. מאמר זה מתמקד בתפקידן של נשים בתקופת הרנסנס וכיצד התמודדו עם משפחותיהן, עבודותיהן וחיי היומיום שלהן בתקופה זו. הוא ישווה גם את נשות הרנסנס לנשים בגיל העמידה. תפקיד הנשים בתקופת הרנסאנס ושירותן בחברה הפכו לסיבה להעצמת נשים שלא הייתה אפשרית בימי הביניים.

דִיוּן

נשים בתחילה לא היו חלק פעיל במהפכה ומעמדן החברתי והכלכלי הפך למכשול למעורבותן. עד שנשים מהמאה השש עשרה לא היו חלק פעיל במהפכה וצמיחתן בצורות אמנות חדשות נדחקה על ידי כוחה החזק של החברה הדומיננטית הגברית. עוד נתאר את תפקידן בתקופה כאמהות, נשים עובדות וכחלק פעיל בחברה.

נשים בתקופת הרנסנס החזיקו בסגולה גבוהה לגבי משפחתן ומחויבויותיהן. נשים בתקופת הרנסנס נאלצו לחפש את הילדים ואת משק הבית והודחקו על ידי הזכרים (הרליהי, דוד, 1995). הם עדיין הצליחו לשפר את אורח חייהם על ידי הצגת חובותיהם היומיומיות כחלק מהתחייבויותיהם. התפרצות המחלה במאה ה -15 הרגה רבים מאנשי האזור והיה צורך שמישהו ייקח את התפקידים הדרושים באותה תקופה, נשים החלו להשתתף בהופעות בעבודות אלה אך הן היו מדוכאות על ידי גברים. (מיטשל, לינדה, 2012). על מנת לפרנס משפחות, נשים רבות לקחו את התפקיד כאחיות ובחנויות פלורנטין.

הנשים האציליות והמעמד הנמוך סיפקו את שירותן על ידי לקיחת עבודות כאחיות רטובות ובחנויות פלורנטין. למרות שהיו להם משפחות משלהם וילדים משלהם, שירותם בעבודות מעולם לא שינה את העדפתם והם השתתפו באופן פעיל בעבודות הבית שלהם. סגולתם הגבוהה בחברה המשתתפת הניעה אותם לעבוד כספינרים משי, עוזרות בית ובחנויות מאפיות כשידעו שעבודות אלה צריכות להתבצע על ידי גברים, אך הם היו צריכים להעצים את עצמם ואת משפחתם, כך שהם התנגדו לכל תנועה שנעשתה נגדם. (וורד, ג'ניפר, 2016).

הנשים האצילות ציפו לזכויותיהן הפוליטיות מהממשלה (תומס, נטלי, 2017). הם דרשו את זכויותיהם כחברים מכובדים בחברה וביקשו לקבל את ההזדמנויות בעבודות (צ'אדוויק, 1990). הם דרשו את זכויותיהם בבחירת בן זוגם לחיים שזו הייתה דילמה בתקופת הרנסאנס ונשים נמכרו לנדוניה ו ליישוב סכסוכים אישיים (קירשנר, יוליוס, 2015).

בתקופת הרנסנס הבינו נשים את הצורך בחינוך כדי להתעדכן בעולם המתקדם ולהשיג את מעמדן בחברה שלהן. (Wyles, R., & Hall, 2016) שיטות הלמידה החלו להתפתח במאה ה -14 והיו בשיאם עד סוף המאה ה -15. (צ'רלטון, 2013) החינוך שנשים התעניינו בו היה בעיקר ספרות יוונית ולטינית. מיוזמות של הומניסטים, נשים החלו ללמוד אמנות, אדריכלות ושפות. לאפשרויות החינוך היה הבדל בכיתה. רוב הנשים האצילות קיבלו חינוך ביתי מהמומחים בתחום ולמדו את המקצועות העיקריים הפופולריים בחינוך האנגלי באותה תקופה. (הסטר, ג'ק ה ', 1950) המעמד העניים והנשים האלמנות, לעומת זאת, נראים נאבקים על זכויותיהם החינוכיות הבסיסיות והתקדמותם הייתה איטית מכיוון שהם לא נתמכו על ידי הפוליטיקה והממשל של אותה תקופה (וויינרייט, אנה, 2018)

לנשים בתקופת הרנסנס היה עניין רב במוזיקה ובאמנות. השירים שהלחינו נשים בתקופת הרנסנס האנגלי תיארו את התלאות והמאבק שעברו. ההרכב הראשוני של השירים נעשה בסנט קלייר שבפירנצה על ידי חברי הכנסיות. השירים היו בעיקר בצורת קפלות ושרים על ידי נזירות. (תומס, נטלי, 2017) האמנות בתקופת הרנסאנס פיתחו טכניקות חדשות ומדהימות בציורן. גם ציוריהם תיארו את הדיכוי שגרמה הקהילה המופעלת עליהם על ידי גברים. הציורים שלהם הדגישו את הבעיות העיקריות שבהן נשים מתמודדות ואת המאבק שלהן. מעט מאוד אמניות זכו להכרה ולהערכה. Sofonisba Anguissola היא אחת האומנות הבודדות שתקפו את דיכוי הנשים בכוח המברשת שלה. היא תיארה את הבעיות העיקריות של אותה תקופה על ידי התמקדות ב"נשים "כנושא העיקרי שלהן. (סנטר, לילי, 2018)

תפקיד הנשים ברנסנס הפך לסיבה להעצמת נשים. בימי הביניים לנשים לא היו זכויות ותפקידן הוגבל לבתי מגורים לבעלה ולמשפחותיהם. היו תפיסות מהתנ"ך לפיהן נשים סיבה לטעויות אנוש ואין להן זכויות להשתתף בחברה או בפוליטיקה החברתית. לאחר תקופת הרנסנס נשים התייצבו נגד עליונות הגבר בחברה. They started participating in society jobs, politics and education (Tomas, Natalie, 2017). They asked for respectable positions in society and their efforts were fruitful when the government started giving them job opportunities and places in politics.

סיכום

The women in renaissance made huge efforts for their equal rights. They were suppressed in all job role of the society and were kept ignorant on purpose. After the renaissance women started to understand their place in the society and started fighting for it. They started taking part in various jobs and learned the value of education. While they fought for the equal rights as men they never forgot their obligations and need in their family, they continued to serve their families and people depending on them and side by side worked in various jobs as servants, nurses and as silk workers.

עבודות מצוטטות

Beilin, Elaine V. Redeeming Eve: women writers of the English Renaissance. Princeton University Press, 2014.

Chadwick, Whitney, and Whitney Chadwick. Women, art, and society. London: Thames and Hudson, 1990.

Charlton, Kenneth. Education in Renaissance England. כרך 1. Routledge, 2013.

Chin, Lily. “SOFONISBA ANGUISSOLA AND HER EARLY TEACHERS.” (2018).

Herlihy, David. Women, family, and society in medieval Europe: historical essays, 1978-1991. Berghahn Books, 1995.

Hexter, Jack H. “The Education of the Aristocracy in the Renaissance.” The Journal of Modern History 22.1 (1950): 1-20.

Kirshner, Julius. Marriage, dowry, and citizenship in late medieval and Renaissance Italy. כרך 2. University of Toronto Press, 2015.

Klapisch-Zuber, Christiane. Women, family, and Ritual in Renaissance Italy. University of Chicago Press, 1987.

Mitchell, Linda E., ed. Women in Medieval Western European Culture. Routledge, 2012.

Shuger, Debora K. Sacred rhetoric: The Christian grand style in the English Renaissance. Princeton University Press, 2014.

Tomas, Natalie R. The Medici women: gender and power in Renaissance Florence. Taylor & Francis, 2017.

Tomas, Natalie. “The grand ducal Medici and their archive (1537-1543) women artists in early modern Italy: Careers, fame, and collectors [Book Review].” Parergon 34.2 (2017): 179.

Wainwright, Anna. “Teaching Widowed Women, Community, and Devotion in Quattrocento Florence with Lucrezia Tornabuoni and Antonia Tanini Pulci.” Religions 9.3 (2018): 76.

Ward, Jennifer. Women in medieval Europe: 1200-1500. Routledge, 2016.

Wyles, R., & Hall, E. (Eds.). (2016). Women Classical Scholars: Unsealing the Fountain from the Renaissance to Jacqueline de Romilly. הוצאת אוניברסיטת אוקספורד.


The Mathematical Cultures of Medieval Europe - Introduction

Mathematics in medieval Europe was not just the purview of scholars who wrote in Latin, although certainly the most familiar of the mathematicians of that period did write in that language, including Leonardo of Pisa, Thomas Bradwardine, and Nicole Oresme. These authors &ndash and many others &ndash were part of the Latin Catholic culture that was dominant in Western Europe during the Middle Ages. Yet there were two other European cultures that produced mathematics in that time period, the Hebrew culture found mostly in Spain, southern France, and parts of Italy, and the Islamic culture that predominated in Spain through the thirteenth century and, in a smaller geographic area, until its ultimate demise at the end of the fifteenth century. These two cultures had many relationships with the dominant Latin Catholic culture, but also had numerous distinct features. In fact, in many areas of mathematics, Hebrew and Arabic speaking mathematicians outshone their Latin counterparts. In what follows, we will consider several mathematicians from each of these three mathematical cultures and consider how the culture in which each lived influenced the mathematics they studied.

We begin by clarifying the words &ldquomedieval Europe&rdquo, because the dates for the activities of these three cultures vary considerably. Catholic Europe, from the fall of the Western Roman Empire up until the mid-twelfth century, had very little mathematical activity, in large measure because most of the heritage of ancient Greece had been lost. True, there was some education in mathematics in the monasteries and associated schools &ndash as Charlemagne, first Holy Roman Emperor, had insisted &ndash but the mathematical level was very low, consisting mainly of arithmetic and very elementary geometry. Even Euclid&rsquos Elements were essentially unknown. About the only mathematics that was carried out was that necessary for the computation of the date of Easter.

Recall that Spain had been conquered by Islamic forces starting in 711, with their northward push being halted in southern France in 732. Beginning in 750, Spain (or al-Andalus) was ruled by an offshoot of the Umayyad Dynasty from Damascus. The most famous ruler of this transplanted Umayyad Dynasty, with its capital in Cordova, was &lsquoAbd al-Raḥmān III, who proclaimed himself Caliph early in the tenth century, cutting off all governmental ties with Islamic governments in North Africa. He ruled for a half century, from 912 to 961, and his reign was known as &ldquothe golden age&rdquo of al-Andalus. His son, and successor, al-Ḥakam II, who reigned from 961 to 977, was, like his father, a firm supporter of the sciences who brought to Spain the best scientific works from Baghdad, Egypt, and other eastern countries. And it is from this time that we first have mathematical works written in Spain that are still extant.

Al-Ḥakam&rsquos son, Hishām, was very young when he inherited the throne on the death of his father. He was effectively deposed by a coup led by his chamberlain, who soon instituted a reign of intellectual terror that lasted until the end of the Umayyad Caliphate in 1031. At that point, al-Andalus broke up into many small Islamic kingdoms, several of which actively encouraged the study of sciences. In fact, Sā&lsquoid al-Andalusī, writing in 1068, noted that &ldquoThe present state, thanks to Allah, the Highest, is better than what al-Andalus has experienced in the past there is freedom for acquiring and cultivating the ancient sciences and all past restrictions have been removed&rdquo [Sā&lsquoid, 1991, p. 62].

איור 1. Maps of Spain in 910 (upper left), 1037 (upper right), 1150 (lower left), and 1212-1492 (lower right)

Meanwhile, of course, the Catholic &ldquoReconquista&rdquo was well underway, with a critical date being the reconquest of Toledo in 1085. Toledo had been one of the richest of the Islamic kingdoms, but was conquered in that year by Alfonso VI of Castile. Fortunately, Alfonso was happy to leave intact the intellectual riches that had accumulated in the city, and so in the following century, Toledo became the center of the massive transfer of intellectual property undertaken by the translators of Arabic material, including previously translated Greek material, into Latin. In fact, Archbishop Raymond of Toledo strongly encouraged this effort. It was only after this translation activity took place, that Latin Christendom began to develop its own scientific and mathematical capabilities.

But what of the Jews? There was a Jewish presence in Spain from antiquity, and certainly during the time of the Umayyad Caliphate, there was a strong Jewish community living in al-Andalus. During the eleventh century, however, with the breakup of al-Andalus and the return of Catholic rule in parts of the peninsula, Jews were often forced to make choices of where to live. Some of the small Islamic kingdoms welcomed Jews, while others were not so friendly. And once the Berber dynasties of the Almoravids (1086-1145) and the Almohads (1147-1238) from North Africa took over al-Andalus, Jews were frequently forced to leave parts of Muslim Spain. On the other hand, the Catholic monarchs at the time often welcomed them, because they provided a literate and numerate class &ndash fluent in Arabic &ndash who could help the emerging Spanish kingdoms prosper. By the middle of the twelfth century, most Jews in Spain lived under Catholic rule. However, once the Catholic kingdoms were well-established, the Jews were often persecuted, so that in the thirteenth century, Jews started to leave Spain, often moving to Provence. There, the Popes, in residence at Avignon, protected them. By the end of the fifteenth century, the Spanish Inquisition had forced all Jews to convert or leave Spain.

Figure 2. Papal territories in Provence

It was in Provence, and later in Italy, that Jews began to fully develop their interest in science and mathematics. They also began to write in Hebrew rather than in Arabic, their intellectual language back in Muslim Spain.

Victor J. Katz (University of the District of Columbia), "The Mathematical Cultures of Medieval Europe - Introduction," Convergence (December 2017)


Leonardo Pisano Fibonacci

Fibonacci ended his travels around the year 1200 and at that time he returned to Pisa. There he wrote a number of important texts which played an important role in reviving ancient mathematical skills and he made significant contributions of his own. Fibonacci lived in the days before printing, so his books were hand written and the only way to have a copy of one of his books was to have another hand-written copy made. Of his books we still have copies of Liber abaci Ⓣ (1202) , Practica geometriae Ⓣ (1220) , Flos Ⓣ (1225) , and Liber quadratorum Ⓣ . Given that relatively few hand-made copies would ever have been produced, we are fortunate to have access to his writing in these works. However, we know that he wrote some other texts which, unfortunately, are lost. His book on commercial arithmetic Di minor guisa Ⓣ is lost as is his commentary on Book X of Euclid's Elements which contained a numerical treatment of irrational numbers which Euclid had approached from a geometric point of view.

One might have thought that at a time when Europe was little interested in scholarship, Fibonacci would have been largely ignored. This, however, is not so and widespread interest in his work undoubtedly contributed strongly to his importance. Fibonacci was a contemporary of Jordanus but he was a far more sophisticated mathematician and his achievements were clearly recognised, although it was the practical applications rather than the abstract theorems that made him famous to his contemporaries.

The Holy Roman emperor was Frederick II. He had been crowned king of Germany in 1212 and then crowned Holy Roman emperor by the Pope in St Peter's Church in Rome in November 1220 . Frederick II supported Pisa in its conflicts with Genoa at sea and with Lucca and Florence on land, and he spent the years up to 1227 consolidating his power in Italy. State control was introduced on trade and manufacture, and civil servants to oversee this monopoly were trained at the University of Naples which Frederick founded for this purpose in 1224 .

Frederick became aware of Fibonacci's work through the scholars at his court who had corresponded with Fibonacci since his return to Pisa around 1200 . These scholars included Michael Scotus who was the court astrologer, Theodorus Physicus the court philosopher and Dominicus Hispanus who suggested to Frederick that he meet Fibonacci when Frederick's court met in Pisa around 1225 .

Johannes of Palermo, another member of Frederick II's court, presented a number of problems as challenges to the great mathematician Fibonacci. Three of these problems were solved by Fibonacci and he gives solutions in Flos Ⓣ which he sent to Frederick II. We give some details of one of these problems below.

After 1228 there is only one known document which refers to Fibonacci. This is a decree made by the Republic of Pisa in 1240 in which a salary is awarded to:-

This salary was given to Fibonacci in recognition for the services that he had given to the city, advising on matters of accounting and teaching the citizens.

Liber abaci Ⓣ , published in 1202 after Fibonacci's return to Italy, was dedicated to Scotus. The book was based on the arithmetic and algebra that Fibonacci had accumulated during his travels. The book, which went on to be widely copied and imitated, introduced the Hindu-Arabic place-valued decimal system and the use of Arabic numerals into Europe. Indeed, although mainly a book about the use of Arab numerals, which became known as algorism, simultaneous linear equations are also studied in this work. Certainly many of the problems that Fibonacci considers in Liber abaci Ⓣ were similar to those appearing in Arab sources.

The second section of Liber abaci Ⓣ contains a large collection of problems aimed at merchants. They relate to the price of goods, how to calculate profit on transactions, how to convert between the various currencies in use in Mediterranean countries, and problems which had originated in China.

A problem in the third section of Liber abaci Ⓣ led to the introduction of the Fibonacci numbers and the Fibonacci sequence for which Fibonacci is best remembered today:-

The resulting sequence is 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , . ( Fibonacci omitted the first term in Liber abaci Ⓣ ) . This sequence, in which each number is the sum of the two preceding numbers, has proved extremely fruitful and appears in many different areas of mathematics and science. ה Fibonacci Quarterly is a modern journal devoted to studying mathematics related to this sequence.

Many other problems are given in this third section, including these types, and many many more:

There are also problems involving perfect numbers, problems involving the Chinese remainder theorem and problems involving summing arithmetic and geometric series.

Fibonacci treats numbers such as √ 10 in the fourth section, both with rational approximations and with geometric constructions.

A second edition of Liber abaci Ⓣ was produced by Fibonacci in 1228 with a preface, typical of so many second editions of books, stating that:-

Liber quadratorum, written in 1225 , is Fibonacci's most impressive piece of work, although not the work for which he is most famous. The book's name means the book of squares and it is a number theory book which, among other things, examines methods to find Pythogorean triples. Fibonacci first notes that square numbers can be constructed as sums of odd numbers, essentially describing an inductive construction using the formula n 2 + ( 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 2 n^ <2>+ (2n+1) = (n+1)^ <2>n 2 + ( 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 2 . Fibonacci writes:-

Fibonacci's work in number theory was almost wholly ignored and virtually unknown during the Middle ages. Three hundred years later we find the same results appearing in the work of Maurolico.

The portrait above is from a modern engraving and is believed to not be based on authentic sources.


Hebrew Scholasticism in the Fifteenth Century

In their pursuit of a renewal of Jewish philosophy, a number of scholars active in Spain and Italy in the second half of the fifteenth century (Abraham Bibago, Baruch Ibn Ya‘ish, Abraham Shalom, Eli Habillo, Judah Messer Leon) turned to the doctrines and methods of contemporary Latin Scholasticism. These philosophers, who read Latin very well, were impressed by the theories formulated by their Latin colleagues (Albert the Great, Thomas Aquinas, William of Ockham, John Duns Scotus and their followers). They composed original works in Hebrew (mainly commentaries and questions on Aristotle), in which they faithfully reproduced the techniques and terminology of late Scholasticism, and explicitly quoted and discussed Scholastic texts and doctrines about logic, physics, metaphysics and ethics.

Thus, in fifteenth century Italy and Spain there came into being what we may call a "Hebrew Scholasticism": Jewish authors composed philosophical treatises in which they discussed the same questions and used the same methods as contemporary Christian Schoolmen. These thinkers were not simply influenced by Scholasticism: they were real Schoolmen who tried to participate (in a different language) in the philosophical debate of contemporary Europe.

A history of "Hebrew Scholasticism" in the fifteenth century is yet to be written. Most of the sources themselves remain unpublished, and their contents and relationship to Latin sources have not yet been studied in detail. What is needed is to present, edit, translate and comment on some of the most significant texts of "Hebrew Scholasticism", so that scholars can attain a more precise idea of its extent and character.

This book aims to respond to this need. After a historical introduction, where a "state of the art" about research on the relationship between Jewish philosophy and science and Latin Scholasticism in the thirtheenth-fifteenth centuries is given, the book consists of four chapters. Each of them offers a general bio-bibliographical survey of one or two key-authors of fifteenth-century "Hebrew Scholasticism", followed by English translations of some of their most significant "Scholastic" works or of some parts of them: Abraham Bibago’s "Treatise on the Plurality of Forms", Baruch Ibn Ya’ish’s commentaries on Aristotle’s "Nicomachean Ethics" and "De anima", Eli Habillo’s introduction to Antonius Andreas’s commentary on the "Metaphysics", Judah Messer Leon’s commentary on Aristotle’s "Physics" and questions on Porphyry’s "Isagoge". The Hebrew section includes critical editions of some of the translated texts, and a Latin-Hebrew glossary of technical terms of Scholasticism.


The Posttraditional Society

After World War II, the Cold War infiltrated European classrooms. In France and Italy the communists were supported by more than a fifth of the population moreover, regions of Eastern Europe from L󼯬k to Trieste had been transformed into Communist states which promoted a utilitarian, politically dogmatic educational pedagogy. Although the United States wanted to establish comprehensive education in its German occupation zone, West German politicians wanted to return to the pre-Nazi tripartite system. Spain and Portugal, however, remained as they were before the war�scist dictatorships where no reforms were expected.

As industrial production became more technological, demand grew for white-collar workers to supplement the traditional blue-collar labor force. In the 1970s, conventional wisdom referred to the service society in the 1980s, economists described the information society and in the 1990s, experts coined the term the knowledge society. These developments had a great impact on education. Furthermore, new scientific discoveries entered the classrooms, which necessitated new forms of teaching. For example, knowledge of computers and the Internet had to be integrated in all subjects.

In a rapidly changing society, it is not sufficient to maintain one's competence rather, it is necessary to engage in lifelong education. Given the extent of GLOBALIZATION it is not possible for nation-states to maintain their own individual standards. For example, international organizations such as the United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization (UNESCO) have created channels to further global communication in the educational field. British sociologist Anthony Giddens described what he called the post-traditional period. He suggested that tradition should no longer be the guideline for education and for life in the modern world, risks dominate and individuals must continually assess the pros and cons of their decisions. In such a complex world, education must also be more complex, and the solutions to teaching problems could be to create new subjects or to combine existing subjects in new ways. Thus, interdisciplinary work has become common in all types of secondary schools and the universities.

There are at least two paths to choose when planning an educational approach. One is the Anglo-Saxon curriculum, popular in Great Britain and the Scandinavian comprehensive schools. All pupils follow the same core curriculum and progressively they are given more choices in order to follow their individual talents. The comprehensive system responds to the challenge of globalization by teaching a variety of school subjects. Each student's proficiency is tested periodically to ensure that the teaching objectives are being satisfied. Another approach is the German or continental didactical method. Instead of choosing elective courses, students decide to attend one of three types of secondary schools: Hauptschule (26 percent), Realschule (27 percent) or Gymnasium (32 percent). Only a few students choose to go to private schools the remaining 9 percent attend a comprehensive school. The pupils do not have a free choice between different institutions, however their teachers at the lower level decides for them. The pupils in the Hauptschule can continue their studies at the vocational training schools, those who attend the Realschule can go to technical schools, and the pupils in the Gymnasium can go to the sixth form and continue their studies at the university and academy. In fact, although there are relatively few choices between subjects in the German system, it ensures coherence and progression. Moreover, the teachers are free to develop a personal didactic approach to teaching, often with student participation, in order to prepare their pupils for the final state-controlled examinations.

In the 1990s, to prepare their citizens to contribute to the knowledge society, several European countries formulated an education plan. This approach expected 95 percent of young people to graduate from secondary school, with 50 percent of those students going on to university. In order to fulfill this plan, it was appropriate to stress the learning rather than teaching educators discussed terms such as the Process for Enhancing Effective Learning (PEEL, a method developed in Australia) in order to focus on the responsibility of the pupils. Because the individualization of education made it difficult to know whether all students had reached an acceptable proficiency level, it was therefore necessary to evaluate the educational process and its results. Swiss psychologist JEAN פIAGET's theory of children's maturation influenced these educators. They also incorporated the ideas of German philosopher Wolfgang Klafki, who promoted categorical learning as a synthesis of material and formal education.

The development of globalization presented a challenge to the European nation-state one of the responses has been the development of the European Union (EU), a trading bloc with a common currency. Another was the collaboration between the industrialized countries of the world in the Organisation for Economic Cooperation and Development (OECD). This organization developed a program called PISA (Programme for International Student Assessment) which in 1998 published a review called Knowledge and Skillsfor Life. This comprehensive account showed Ȯvidence on the performance in reading, mathematical and scientific literacy of students, schools and countries, provides insight into the factors that influence the development of these skills at home and at school, and examines how these factors interact and what implications are for the policy development." More than a quarter of a million students, representing almost seventeen million fifteen-year-olds enrolled in the schools of the thirty-two participating countries, were assessed in 2000. The literacy level among students in the European countries differed very much from one nation to the next. Finland was at the top, followed by Ireland, the United Kingdom, Sweden, Belgium, Austria, Iceland, Norway, France, Denmark, Switzerland, Spain, the Czech Republic, Italy, Germany, Poland, Hungary, Greece, Portugal, and Luxembourg. All sorts of explanations for the differences can be brought forward, and there probably is no single underlying factor. Economic variation is likely to be a contributing factor, but it is not sufficient. The report concludes that the socioeconomic background of the students, although important, does not solely determine performance. Religious affiliations are no longer a decisive factor, but combined with the fact that countries like Germany and Luxembourg have a comparatively large number of immigrants with a different cultural background, religion may have had some influence on reading proficiency. Other factors could be the regional differences in teacher training, the structure of the native language, or the reading traditions in the home.


Medieval Traditions

The writings of Boethius (ca. 480-524), Roman philosopher and statesman, constituted the major source from which scholars of the early Middle Ages derived their knowledge of Aristotle. Highly learned and industrious, Boethius hoped to make the works of Plato and Aristotle available to the Latin West and to interpret and reconcile their philosophical views with Christian doctrine. Charged with treason by Theodoric the Ostrogoth, he was executed without trial in 524, never completing his project. In prison he wrote his most popular work, De consolatione philosophiae. Boethius had a profound influence on medieval Scholasticism his Latin translations of Aristotle's Categoriae ו De anima provided the Schoolmen with Aristotelian ideas, methods of examining faith, and classification of the divisions of knowledge.

2
Isidore of Seville
אטימולוגיות
Venice: Peter Löslein, 1483

Isidore (כ- 562-636), archbishop of Seville, compiled numerous works which were instrumental in the transmission of the learning of classical antiquity to the Middle Ages. Among the most important productions of the "Great Schoolmaster of the Middle Ages" is the אטימולוגיות, נקרא גם ה Origines, assembled by Isidore between 622-633. An encyclopedic work, unsystematic and largely uncritical, it covers a wide range of topics, including geography, law, foodstuffs, grammar, mineralogy, and, as illustrated here, genealogy. The title "Etymologiae" refers to the often fanciful etymological explanations of the terms introducing each article. The work became immensely popular and largely supplanted the study of classical authors themselves.

3
Eusebius Pamphili
Historia ecclesiastica
Italy, fifteenth century

The reputation of Eusebius Pamphili (ca. 260-340), bishop of Caesarea, as the "Father of Church History" rests mainly on his Historia ecclesiastica, issued in its final Greek form in 325. For over a millennium it has served as the major source for the history of the early Church. At the urging of Chromatius (d. 406), bishop of Aquileia, a Latin translation was produced in the late fourth century by Rufinus, presbyter and theologian. Rufinus made numerous changes in Eusebius' account which reflected his own theological stance and historical viewpoint, and introduced additions from original sources which are now lost. The present manuscript dates from the fifteenth century and once belonged to the marquis of Taccone, treasurer to the king of Naples late in the eighteenth century.

4
Basil the Great
De legendis gentilium libris
Bound with
אתנאסיוס
Vita Sancti Antonii Eremitae
Italy? כ- 1480?

The writings of Basil (329-379) and Athanasius (293-373) exercised great influence upon the development of the ascetic life within the Church. Both men sought to regulate monasticism and to integrate it into the religious life of the cities. De legendis gentilium libris does not deal specifically with monasticism, but is instead a short treatise addressed to the young concerning the place of pagan books in education. The work displays a wealth of literary illustration, citing the virtuous examples of classical figures such as Hercules, Pythagoras, Solon, and others. Moral exhortations are also found in Athanasius' Vita Sancti Antonii Eremitae, a hagiography which awoke in Augustine the resolution to renounce the world and which served to kindle the flame of monastic aspirations in the West. This manuscript edition of the two works, probably originating from fifteenth-century Sicily, was written by Gregorius Florellius, an unidentified monk or friar.

5
Marbode
De lapidibus
pretiosis enchiridion
Freiburg, 1531

Precious stones and minerals have long been prized for their supposedly magical and medicinal properties. During the Middle Ages these popular beliefs were gathered under the form of lapidaries, works which listed numerous gems, stones, and minerals, as well as the many powers attributed to them. Marbode (1035-1123), bishop of Rennes, composed the earliest and most influential of these medieval lapidaries, describing the attributes of sixty precious stones. For his work Marbode drew upon the scientific writings of Theophrastus and Dioscorides and the Alexandrian magical tradition. Christian elements, derived from Jewish apocalyptic sources, were not added to lapidaries until the next century. Marbode's work, which became immensely popular, was translated into French, Provençal, Italian, Irish, Danish, Hebrew, and Spanish. This third printed edition is one of five issued in the sixteenth century.

6
Averroes
Notabilia dicta
Italy, כ- 1430 ­ 1450

Beginning in the twelfth century, much of the Aristotelian corpus became available for the first time to the Latin West through the medium of Arabic translations. Many Schoolmen were introduced to the philosophy of Aristotle through the extensive commentaries of Averroes (1126­ 1198), the renowned Spanish-Arab philosopher and physician who deeply inflluenced later Jewish and Christian thought. Followers saw implicit in his writings a doctrine of "two truths": a philosophical truth which was to be found in Aristotle, and a religious truth which is adapted to the understanding of ordinary men. This denial of the superiority of religious truth led to a major controversy in the thirteenth century and a papal condemnation of Averroism in 1277. Contained in this Latin manuscript are portions of Averroes' commentaries on Aristotle's De anima ו Metaphysica, and his medical tract Al-Kulliyyat.

7
Receptarium
de medicinis
Naples, Italy, כ- 1500,
with sixteenth-century additions

Throughout the medieval period, the practice of medicine was more of an art than a science and required the preparation of complex "recipes" containing numerous animal, mineral, and vegetable substances. Materiae medicae, herbals, and antidotaries described innumerable recipes for everyday needs and proposed remedies which were believed to cure a wide range of human ailments. Many of the medieval prescriptions combine more than a hundred ingredients. This fifteenth-century materia medica contains prescriptions attributed to Galen (131 ­ 200), Mesuë (776 ­ 857), Avicenna (980-1037), Averroes (1126-1198), and others. Condiments and spices (pepper, ginger, cardamom, oregano) appear in most of the prescriptions, along with such favorites as camomile, mandrake, honey, camphor, aniseed, and gum arabic. Recipes are given for ink, soap, white sugar, hair-restorers and dyes, cosmetics, and colors ­ to name but a few. Remedies are suggested for such ubiquitous woes as dog-bite, headache, and gout.

8
Blasius of Parma
Questiones super libro methaurorum
Italy, fifteenth century

Blasius of Parma (ca. 1345 ­ 1416), a versatile, eminent, and sometimes controversial scholar, was instrumental in the dissemination and popularization in Italy of the new ideas then being debated by Scholastics at the University of Paris. Best known for his commentaries upon the works of Aristotle and more recent authors, he wrote on mathematics, physics, logic, psychology, theology, astrology, and astronomy. His discussion of Aristotle's Meteorologica found in this manuscript is distinctly anti-Aristotelian in tone and may be traced to the Platonist reaction fostered by the Medici. Blasius, also known as Biagio Pelacani, taught at Pavia, Bologna, and Padua and spent some time at the University of Paris. His wide range of interests anticipates the breed of scholar who would make Italy the center of the early Renaissance.

9
ספר השעות
(Use of Chalôns-sur-Marne)
Northeastern France, ca. 1400-1410

This Book of Hours is a noteworthy example of fifteenth-century Horae displaying a mixture of Parisian, Flemish, and provincial styles. The pages, adorned with elaborate borders and illuminations, contain ten miniatures depicting episodes in the life of the Virgin Mary. The elegant and mannered poses, the wave-form robe motifs, and the aerial perspectives based on graded blue skies are characteristic of early fifteenth-century Parisian illuminations. They contrast with the more provincial elements such as short, stocky figures and rustic faces which can be traced to Flemish influence. Prescribing daily worship periods, these texts served as concise breviaries for the laity. Including a liturgical calendar, psalms, hymns, anthems, and prayers, Horae were frequently produced in fifteenth-century France and Flanders.

10
Book of Devotions
Germany, fifteenth century

Books of Devotions, such as the example here, express the growth of a new religious consciousness and independence among the lower clerical orders and laity during the fourteenth and fifteenth centuries. The text, probably gathered and copied in or around Mainz between 1450-1475, is a collection of allegorical and devotional meditations, rules, stories, and exhortations. Of note is an allegory concerning Christ and the loving soul, using the metaphor of the human body as a castle, Christ as the master, and the soul as the mistress. Scattered through-out the final leaves are personal notes made by various lay owners of later periods. These include pious phrases in Latin and German lists of debts and interest paid the memoranda of one Ernst Lorentz Pauly (d. 1718) concerning his marriage, children, several baptisms, and a murder which occurred in 1669.

11
Altvaterbuch
Strassburg: Johann Grüninger, 1507

Lay piety found new forms of expression with the rise of printing in the late fifteenth and early sixteenth centuries. Sources for this Altvaterbuch, a collection of lives of the saints, may be traced to late antique Byzantine hagiographies of the desert Fathers, such as Anthony, Gregory, and Hilary. The exemplary figures described in such traditional works provided personal and immediate sources of inspiration for devoted laity. The Latin Vitae patrum were subsequently translated into vernacular tongues, along with other popular devotional literature. The editions produced by the celebrated printer Johann Grüninger were known for their fine illustrations, usually produced from metal plates instead of the more frequent woodcuts. In order to facilitate the identification of pious readers with the holy figures, the illustrator depicted the Fathers in contemporary garb and placed them at work among the common people.


צפו בסרטון: לימודי מתמטיקה שימושית במכללה האקדמית אורט בראודה


הערות:

  1. Kiramar

    בראבו איזה מסר נהדר

  2. Loman

    קל יותר להגיד מאשר לעשות.

  3. Roweson

    אני מתנצל על ההפרעה, אבל לדעתי הנושא כבר לא מעודכן.

  4. Malalkree

    תשובה מהירה)))

  5. Aesoburne

    לעבור ליד ...



לרשום הודעה